حل تمرین صفحه 14 ریاضی و امار دهم انسانی

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۱ صفحه 14 ریاضی دهم انسانی سلام به شما دانش‌آموزان باهوش! اولین قدم در حل مسائل ریاضی، تبدیل جملات فارسی به **زبان دقیق ریاضی** (یعنی معادله) است. بیایید با هم این تمرین‌ها را انجام دهیم. عدد مجهول را $\mathbf{x}$ در نظر می‌گیریم. ### الف) معادله درجه اول (معادله خطی) **ترجمه عبارت:** عددی که پنج برابر آن ($\mathbf{5x}$) به علاوه دو ($\mathbf{+ 2}$) مساوی با ($\mathbf{=}$) سه برابر آن عدد ($\mathbf{3x}$) منهای دو ($\mathbf{- 2}$) باشد. **معادله:** $$\mathbf{5x + 2 = 3x - 2}$$ **حل اختیاری (برای تمرین بیشتر):** $$\mathbf{5x - 3x = -2 - 2}$$ $$\mathbf{2x = -4}$$ $$\mathbf{x = -2}$$ ### ب) معادله درجه دوم **ترجمه عبارت:** مربع عددی ($\mathbf{x^2}$) برابر با ($\mathbf{=}$) همان عدد ($\mathbf{x}$) به علاوه یک ($\mathbf{+ 1}$) است. **معادله:** $$\mathbf{x^2 = x + 1}$$ **نکته آموزشی:** این یک **معادله درجه دوم** است. شکل استاندارد آن $\mathbf{x^2 - x - 1 = 0}$ می‌باشد. این نوع معادلات معمولاً دو جواب دارند.

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۲ صفحه 14 ریاضی دهم انسانی این مسئله با استفاده از **معادله درجه اول** و مفهوم **نسبت** قابل حل است. ما حقوق همه را بر حسب حقوق فن‌ورز تعریف می‌کنیم. ### گام ۱: تعریف حقوق‌ها بر حسب متغیر $\mathbf{x}$ **متغیر:** حقوق یک فن‌ورز را $\mathbf{x}$ (میلیون تومان) در نظر می‌گیریم. 1. **حقوق مهندس:** «دو برابر یک فن‌ورز» $$\mathbf{\text{حقوق مهندس} = 2x}$$ 2. **حقوق مدیر بخش:** «حقوق یک مهندس $\mathbf{\frac{۳}{۲}}$ حقوق مدیر بخش خود است.» $$\mathbf{\text{حقوق مهندس} = \frac{3}{2} \times \text{حقوق مدیر}}$$ $$2x = \frac{3}{2} \times \text{حقوق مدیر}$$ $$\mathbf{\text{حقوق مدیر} = 2x \times \frac{2}{3} = \frac{4}{3}x}$$ ### گام ۲: تشکیل معادله حقوق کل جمع کل حقوق پرداختی برای ۳ مدیر، ۸ مهندس و ۱۲ فن‌ورز برابر با $\mathbf{296}$ میلیون تومان است: $$\mathbf{(3 \times \text{مدیر}) + (8 \times \text{مهندس}) + (12 \times \text{فن‌ورز}) = 296}$$ $$\mathbf{3 \left(\frac{4}{3}x\right) + 8(2x) + 12(x) = 296}$$ ### گام ۳: حل معادله 1. **ساده‌سازی:** $$4x + 16x + 12x = 296$$ 2. **جمع کردن جملات $\mathbf{x}$:** $$\mathbf{32x = 296}$$ 3. **یافتن $\mathbf{x}$:** $$\mathbf{x = \frac{296}{32} = 9.25}$$ **پاسخ نهایی:** حقوق یک فن‌ورز ماهیانه $\mathbf{9.25}$ میلیون تومان است.

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۳ صفحه 14 ریاضی دهم انسانی در این مسئله با یک **تصاعد هندسی** سروکار داریم، زیرا تولید هر روز دو برابر روز قبل می‌شود. روزهای تولید عبارتند از: شنبه، یکشنبه، دوشنبه، سه‌شنبه، چهارشنبه (۵ روز). ### گام ۱: تعیین تولید روزانه و یافتن $\mathbf{x}$ تولید روز شنبه را $\mathbf{x}$ (هزار تن) فرض می‌کنیم: * **شنبه:** $\mathbf{x}$ * **یکشنبه:** $\mathbf{2x}$ * **دوشنبه:** $\mathbf{4x}$ * **سه‌شنبه:** $\mathbf{8x}$ * **چهارشنبه:** $\mathbf{16x}$ (که برابر با $\mathbf{64}$ هزار تن است.) معادله: $$\mathbf{16x = 64 \Rightarrow x = \frac{64}{16} = 4}$$ **تولید روز شنبه $\mathbf{4}$ هزار تن بوده است.** ### گام ۲: محاسبه مجموع تولید مجموع تولید در پنج روز برابر است با: $$\mathbf{\text{مجموع} = x + 2x + 4x + 8x + 16x = 31x}$$ $$\mathbf{\text{مجموع} = 31 \times 4 = 124}$$ **پاسخ اول:** مجموع تولید فولاد در این پنج روز $\mathbf{124}$ هزار تن بوده است. ### گام ۳: محاسبه اختلاف تولید اختلاف بین تولید روز چهارشنبه و تولید روز شنبه مد نظر است: $$\mathbf{\text{اختلاف} = \text{تولید چهارشنبه} - \text{تولید شنبه}}$$ $$\mathbf{\text{اختلاف} = 64 - 4 = 60}$$ **پاسخ دوم:** اختلاف تولید فولاد در پایان روز شنبه با تولید در پایان روز چهارشنبه $\mathbf{60}$ هزار تن است.

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۴ صفحه 14 ریاضی دهم انسانی در این تمرین، باید مساحت هر دو شکل را بر حسب $\mathbf{x}$ بنویسیم، با هم جمع کنیم و حاصل را برابر $\mathbf{6}$ قرار دهیم. ### گام ۱: محاسبه مساحت هر شکل 1. **مساحت مربع ($athbf{A_1}$):** $$A_1 = \text{ضلع} \times \text{ضلع}$$ $$\mathbf{A_1 = x^2}$$ 2. **مساحت دایره ($athbf{A_2}$):** * فرمول مساحت دایره: $\mathbf{\pi r^2}$ * شعاع: $\mathbf{r = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}x}$ $$\mathbf{A_2 = \pi r^2 = \pi \left( \frac{1}{\sqrt{2\pi}}x \right)^2}$$ $$\mathbf{A_2 = \pi \times \frac{1}{2\pi} \times x^2}$$ (مقدار $\mathbf{\pi}$ در صورت و مخرج کسر ساده می‌شود): $$\mathbf{A_2 = \frac{1}{2}x^2}$$ ### گام ۲: تشکیل و حل معادله مجموع مساحت‌ها برابر $\mathbf{6}$ است: $$\mathbf{A_1 + A_2 = 6}$$ $$\mathbf{x^2 + \frac{1}{2}x^2 = 6}$$ $$\mathbf{(1 + \frac{1}{2})x^2 = 6}$$ $$\mathbf{\frac{3}{2}x^2 = 6}$$ برای یافتن $\mathbf{x^2}$، دو طرف را در $\mathbf{\frac{2}{3}}$ ضرب می‌کنیم: $$x^2 = 6 \times \frac{2}{3} = \frac{12}{3}$$ $$\mathbf{x^2 = 4}$$ ### گام ۳: نتیجه نهایی $$\mathbf{x = \pm \sqrt{4} = \pm 2}$$ چون $\mathbf{x}$ طول ضلع یک شکل هندسی است، باید مثبت باشد ($athbf{x > 0}$). **پاسخ نهایی:** طول ضلع مربع $\mathbf{2}$ است.

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۵ صفحه 14 ریاضی دهم انسانی این تمرین یک فعالیت جذاب و خلاقانه برای درک مفهوم **متغیر و ضرایب** در ریاضی است. ما از جدول شماره‌گذاری حروف و تعداد نقاط استفاده می‌کنیم (تصویر پیوست `image_db0267.png`). **قاعده اصلی:** * **حرف بی‌نقطه:** $\mathbf{a}$ (شماره حرف الفبا) * **حرف نقطه‌دار:** $\mathbf{ax}$ ($athbf{a}$: شماره حرف، $\mathbf{n}$: تعداد نقاط) ### الف) تکمیل جدول | کلمه به زبان فارسی | شماره حرف (a) و نقاط (n) | الگوی ریاضی معادل آن | | :---: | :---: | :---: | | **آب** | الف (۱، بی‌نقطه) + ب (۲، ۱ نقطه) | $\mathbf{1 + 2x \Rightarrow 2x + 1}$ | | **تپ** | ت (۴، ۲ نقطه) + پ (۳، ۳ نقطه) | $\mathbf{4x + 3x \Rightarrow 7x}$ | | **ذرت** | ذ (۱۲، ۱ نقطه) + ر (۱۳، بی‌نقطه) + ت (۴، ۲ نقطه) | $\mathbf{12x + 13 + 4x \Rightarrow 16x + 13}$ | **جدول کامل شده (به ترتیب سوال): * **آب:** $\mathbf{1 + 2x}$ (در کتاب $\mathbf{3x+1}$ آمده که نشان می‌دهد احتمالاً 'آ' را با شماره ۳ و 'ب' را با ۱ نقطه فرض کرده‌اند. با فرض $\mathbf{a=3}$ برای 'آ' و $\mathbf{a=1}$ برای 'ب': $\mathbf{3+1x}$. اما با توجه به $\mathbf{2x+3}$ در ردیف دوم، پاسخ منطقی‌تر $\mathbf{2x+1}$ یا $\mathbf{1x+3}$ است. بر اساس منطق ارائه شده در پاسخ تشریحی: $\mathbf{2x+1}$) * **تپ:** $\mathbf{2x + 3}$ (در این حالت، حرف اول 'ت' (شماره ۴، ۲ نقطه) و حرف دوم 'پ' (شماره ۳، ۳ نقطه) است: $\mathbf{4x+3x=7x}$ نیست. برای $\mathbf{2x+3}$ کلمه‌ای مانند 'تب' (ت:۴، ۲ نقطه + ب:۲، ۱ نقطه) باید $\mathbf{4x+2x=6x}$ باشد. با توجه به $\mathbf{2x+3}$ کلمه مورد نظر 'پت' (پ:۳، ۳ نقطه + ت:۴، ۲ نقطه) است: $\mathbf{3x+4x}$ باز هم نیست. این ردیف باید پر شود، بر اساس الگوی کتاب:** $\mathbf{2x + 3}$ * **ذرت:** $\mathbf{16x + 13}$ (بر اساس محاسبات ما) ### ب) الگوی ریاضی کلمه «پیامبر رحمت» 1. **پیامبر:** پ($3x$) + ی($30x$) + ا($1$) + م($27$) + ب($2x$) + ر($13$) $$\mathbf{\text{پیامبر}: 3x + 30x + 1 + 27 + 2x + 13 = (3+30+2)x + (1+27+13)}$$ $$\mathbf{\text{پیامبر} = 35x + 41}$$ 2. **رحمت:** ر($13$) + ح($9$) + م($27$) + ت($4x$) $$\mathbf{\text{رحمت}: 13 + 9 + 27 + 4x = 4x + (13+9+27)}$$ $$\mathbf{\text{رحمت} = 4x + 49}$$ **الگوی کامل:** $\mathbf{(35x + 41) + (4x + 49) = 39x + 90}$ ### پ) رمزگذاری نام خود بله، هر کس می‌تواند نام خود را رمزگذاری کند! کافی است برای هر حرف، شماره الفبا و تعداد نقاط آن را مشخص کنید و سپس آن را به عبارت جبری تبدیل نمایید. ### ت) پیام کوتاه پیام کوتاه: «بم» (به معنی بیا) * ب: شماره ۲، یک نقطه $\mathbf{\Rightarrow 2x}$ * م: شماره ۲۷، بی‌نقطه $\mathbf{\Rightarrow 27}$ **پیام رمز شده:** $\mathbf{2x + 27}$

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۶ صفحه 14 ریاضی دهم انسانی این یک مسئله‌ی کلاسیک برای حل **معادله درجه اول** با استفاده از فرمول **محیط مستطیل** است. ابتدا طول و عرض را بر حسب یک متغیر می‌نویسیم. ### گام ۱: تعریف متغیرها **متغیر:** عرض قالی را $\mathbf{x}$ (متر) در نظر می‌گیریم. * **عرض قالی:** $\mathbf{x}$ * **طول قالی:** «۲ متر بیشتر از عرض» $$\mathbf{\text{طول قالی} = x + 2}$$ ### گام ۲: تشکیل معادله محیط فرمول محیط مستطیل: $\mathbf{\text{محیط } = 2 \times (\text{طول} + \text{عرض})}$ محیط برابر $\mathbf{12}$ متر است: $$\mathbf{2 \times ( (x + 2) + x ) = 12}$$ ### گام ۳: حل معادله 1. **ساده‌سازی داخل پرانتز:** $$2 \times (2x + 2) = 12$$ 2. **حذف ضریب ۲ (با تقسیم بر ۲):** $$\mathbf{2x + 2 = \frac{12}{2}}$$ $$\mathbf{2x + 2 = 6}$$ 3. **یافتن $\mathbf{x}$:** $$\mathbf{2x = 6 - 2}$$ $$\mathbf{2x = 4}$$ $$\mathbf{x = 2}$$ ### گام ۴: تعیین طول و عرض * **عرض قالی ($athbf{x}$):** $\mathbf{2}$ متر * **طول قالی ($athbf{x + 2}$):** $\mathbf{2 + 2 = 4}$ متر **پاسخ نهایی:** طول قالی $\mathbf{4}$ متر و عرض آن $\mathbf{2}$ متر است. (محیط: $2 \times (4+2) = 12$)

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۷ صفحه 14 ریاضی دهم انسانی این یک مسئله‌ی کاربردی در صنعت فرش است که مفاهیم **ابعاد** و **تراکم گره** را در بر می‌گیرد. ### گام ۱: تبدیل ابعاد و محاسبه مساحت (بر حسب سانتی‌متر) ابعاد قالی: $\mathbf{2.80m \times 2.10m}$ $$\mathbf{\text{طول } = 2.80 \times 100 = 280 \text{ cm}}$$ $$\mathbf{\text{عرض } = 2.10 \times 100 = 210 \text{ cm}}$$ **مساحت قالی ($athbf{A}$):** $$\mathbf{A = 280 \times 210 = 58,800 \text{ cm}^2}$$ **تعداد گره‌های کل:** $\mathbf{5,880,000}$ گره ### الف) محاسبه رج قالی منظور از «رج» معمولاً تعداد گره در یک واحد طول مشخص (مثل $6.5$ یا $7$ سانتی‌متر) است، اما در اینجا با مفهوم ساده‌تری از «تراکم» سروکار داریم. تعداد گره‌ها تقسیم بر مساحت، **تراکم گره در هر سانتی‌متر مربع** را به دست می‌دهد. $$\mathbf{\text{تراکم گره (گره/cm}^2) = \frac{\text{تعداد گره‌های کل}}{\text{مساحت کل}}}$$ $$\mathbf{\text{تراکم گره} = \frac{5,880,000}{58,800} = 100 \text{ گره بر سانتی‌متر مربع}}$$ **اصطلاح رج در فرش:** اصطلاح «رج» یا «رجشمار» معمولاً به تعداد گره در یک واحد مشخص (مثلاً $\mathbf{6.5\text{ cm}}$) در عرض فرش اشاره دارد. با توجه به اینکه این عدد $\mathbf{100}$ گره در $\mathbf{cm^2}$ است، می‌توانیم بگوییم در هر سانتی‌متر از عرض و طول $\mathbf{\sqrt{100} = 10}$ گره وجود دارد. اگر منظور سؤال، رج‌شمار استاندارد (تعداد گره در $\mathbf{6.5\text{ cm}}$ عرض) باشد: $$\mathbf{\text{رج‌شمار} = 10 \text{ گره/cm} \times 6.5 \text{ cm} = 65}$$ **پاسخ الف (بر اساس محاسبه استاندارد قالی‌بافی):** این قالی $\mathbf{65}$ رج است. (هرچند ممکن است منظور کتاب، همان عدد $\mathbf{100}$ گره در $\mathbf{cm^2}$ به عنوان «تراکم» باشد.) ### ب) محاسبه طول نخ قالی برای هر گره $\mathbf{1\text{ cm}}$ نخ استفاده شده است. $$\mathbf{\text{طول نخ کل} = \text{تعداد گره‌های کل} \times \text{نخ هر گره}}$$ $$\mathbf{\text{طول نخ کل} = 5,880,000 \text{ گره} \times 1 \text{ cm/گره} = 5,880,000 \text{ cm}}$$ برای تبدیل سانتی‌متر به متر، بر $\mathbf{100}$ تقسیم می‌کنیم: $$\mathbf{\text{طول نخ کل (متر)} = \frac{5,880,000}{100} = 58,800 \text{ متر}}$$ **پاسخ ب:** در این قالی $\mathbf{58,800}$ متر نخ قالی استفاده شده است.